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   "source": [
    "### 1. 简述混合高斯模型的基本原理，以及通过混合高斯模型进行背景建模的基本思想。\n",
    "\n",
    "**混合高斯模型的基本原理：** 如果图像中一个像素点属于背景的话，那么这个像素点灰度值随时间变化符合高斯分布。通过公式表示，即：\n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass01.png)  \n",
    "则当前像素点属于背景，否则属于前景。但是由于噪声、光照的影响，背景中的像素点灰度值不会只遵循一个高斯分布，我们可以通过多个高斯分布的组合来确定背景，即混合高斯模型。像素灰度随时间的概率密度函数为：\n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass02.png)  \n",
    "上式表示Q个高斯模型的叠加，Wq表示第q个高斯模型的权值。高斯公式为：   \n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass003.png)  \n",
    "表示成全概率公式的方式为：  \n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass04.png)  \n",
    "**混合高斯模型的建模步骤：**   \n",
    "1、模型初始化：将采到的第一帧图像的每个像素的灰度值作为均值，再赋以较大的方差。初始值Q=1，w=1.0;   \n",
    "2、模型学习：将当前帧的对应点像素的灰度值与已有的Q个高斯模型作比较，如果满足|x<sub>k</sub>-μ<sub>q,k</sub>|<2.5σ<sub>q,k</sub>，则判断该点为背景，同时修改第q个高斯模型的权值、均值和方差；计算公式为：  \n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass06.png)  \n",
    "否则进入步骤3；  \n",
    "3、增加或替换高斯分量：如果新像素的灰度值不与任何已有的高斯模型匹配，并且q<Q，则增加一个高斯分量；如果q=Q，我们建立所有的高斯分量，按照w<sub>i</sub>/σ<sub>i</sub>由大到小的顺序进行排列，然后取前Q个高斯分量。  \n",
    "4、根据以下公式判断背景：\n",
    "![高斯公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/guass05.png)   \n",
    "5、不满足上面公式的像素点判断为前景；  \n",
    "\n",
    "### 2. 解释光流计算中的恒定亮度假设，进一步简述L-K光流估计方法的基本原理。   \n",
    "\n",
    "**恒定亮度假设：**   图像中的一个像素点(x,y)在t+1时移动了一个微小的距离(∆x,∆y),用公式（进行一阶泰勒展开）表示为：  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%812.png)   \n",
    "我们假定像素点在t和t+1时刻亮度没有发生变化，即I(x+∆x,y+∆y,t+1)=I(x,y,t)，将上式代入，我们得到： \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%813.png)    \n",
    "\n",
    "\n",
    "**L-K光流估计方法的基本原理：**   我们可以将上式写为：  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%814.png)  \n",
    "I<sub>x</sub>、I<sub>y</sub>、I<sub>t</sub>分别表示x，y，t方向的偏导数，我们可以通过差分求得。因此我们只需要求(u,v)=(∆x,∆y)。我们假定在图像中一个小区域内所有像素的位移相同，即  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%815.png)    \n",
    "写成矩阵的形式：  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%816.png)   \n",
    "求解u的问题化为最优化问题：  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%817.png)   \n",
    "最小二乘解：  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%818.png)   \n",
    "\n",
    "\n",
    "**金字塔L-K方法：**   对每一帧图像进行下采样，每层新图像都是上一层图像的1/2，然后对每层图像运行l-k方法。优点是可处理大位移，对噪声更加不敏感。  \n",
    "![光流公式](http://px71ub40t.bkt.clouddn.com/%E5%85%89%E6%B5%819.png) "
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